定期定額的數學：均價怎麼被拉低、波動為什麼是朋友

核心機制：一道除法

定期定額（DCA，dollar-cost averaging）的規則只有一句：固定的時間，投入固定的金額。機制上的巧妙藏在「固定金額」四個字裡：同樣一千元，價格低的時候買到的份額多，價格高的時候買到的份額少。你什麼都沒判斷，買進行為卻自動變成了「低價多買、高價少買」。

這帶來一個反直覺的數學結果：你的平均成本，會低於你買進期間的平均價格。不是因為你聰明，是因為除法站在你這邊。

實際算一遍：四期的例子

假設每月投入 $100，四個月的價格分別是 $10、$5、$8、$10：

四個月的平均價格是 (10+5+8+10) ÷ 4 = $8.25。但你的平均成本是總投入 $400 ÷ 總份額 52.5 = 約 $7.62。同一段行情，成本比均價低了將近 8%，差距全部來自第二個月：價格腰斬時，同樣的 $100 買到了兩倍的份額。

注意最後一個月價格回到 $10，也就是「一整段行情繞了一圈回到原點」，但你的部位已經在賺錢了（52.5 份 × $10 = $525，成本 $400）。這就是 DCA 在震盪市裡的長相。

為什麼波動愈大，效應愈明顯

把上面例子的第二個月從 $5 改成 $9，也就是一段溫和的行情，你會發現平均成本和平均價格幾乎沒差。均價效應的燃料是波動：跌得愈深，低價期買到的份額愈多，把整體成本往下拖的力道愈大。

這解釋了為什麼波動大的資產（美股成長股、加密資產）反而是 DCA 討論度最高的場景：對單筆買進的人，波動是煎熬；對定期定額的人，下跌期在機制上是「進貨期」。當然，前提永遠是這個資產長期要活著、要往上。波動幫你降成本的前提，是最後有一段上漲讓你收割。一路跌到下市的東西，均價再低也是虧，這一點後面會再講。

為什麼平均成本「一定」不高於平均價格

前面用四期數字看到結果，但那只是一個例子。這個結論其實可以證明，而且證明本身不難懂。

固定金額買進時，你的平均成本是「總投入 ÷ 總份額」。設每期投入固定的 M 元，各期價格分別是 p1、p2 一直到 pn，那麼總投入是 n×M，總份額是 M/p1 + M/p2 + … + M/pn。兩者相除，M 會被消掉，剩下的正好是那組價格的調和平均數。

而數學上有一條固定的關係：一組正數的調和平均數永遠不大於它們的算術平均數，只有在所有數字完全相同時兩者才相等。價格的算術平均，就是「每期都買同樣股數」會得到的平均價。所以定期定額的平均成本，永遠不高於同期間的平均價格；價格波動愈大，兩者的差距愈明顯，波動為零時差距就是零。

這裡要很小心地劃一條線，因為這是最多人誤讀的地方：這條數學保證的是「成本低於平均價」，不是「賺錢」。如果這段期間價格一路往下、最後收在比你所有買點都低的位置，你的平均成本仍然低於平均價格，帳面仍然是虧的。它保證的是進場價格的品質，不是結果的方向。

DCA vs 單筆投入：誠實的比較

這裡要說一段很多講 DCA 的文章不太愛講的話。純看歷史統計，如果市場長期向上，單筆早投入的期望報酬通常比分批高，因為你的錢更早、更完整地暴露在上漲裡。有研究把兩種方式在歷史資料上反覆對比，多數時段是單筆勝出。

那 DCA 的價值在哪？在「人」身上：

• 多數人根本沒有「一大筆錢」：領月薪的人，現金流本來就是分期到帳的，DCA 是唯一符合現實的投入方式，不是次佳選擇。
• 擇時壓力趨近於零：不用問「現在是不是高點」，這個問題困死過的人比虧在手續費上的多得多。
• 執行得下去：投資計畫的報酬，最後是「計畫報酬 × 執行率」。一個期望值稍低但你能執行十年的計畫，勝過一個期望值高但你三個月就棄守的計畫。

我自己的立場很簡單：手上突然有一筆大錢（年終、賣房）時，值得認真想想分批的成本；每月現金流的部分，不用想，設好自動扣款就去過生活。

DCA 做不到的三件事

• 救不了選錯的標的：DCA 的數學建立在「長期向上」的前提上。單押一檔基本面惡化的股票，定期定額只是定期把錢送進火裡。這也是為什麼 DCA 的經典場景是大盤指數這類分散型資產。
• 躲不掉長期熊市：如果整段投入期都在跌、結束時還沒漲回來，帳面就是虧的。均價低於市價的那一天才是收割日，沒人保證它哪天來。
• 消不掉本金風險：任何投資都可能損失本金，DCA 不改變這件事，只改變你抵達虧損或獲利的路徑平不平。

反過來看：提領的時候，定期定額站到你的對面

累積期固定金額買進，價低那期自動買到比較多份，這是好事。把同一套邏輯搬到提領期，結論會整個翻過來。

假設你每個月固定領出一筆錢。價格低的那個月，為了湊到同樣的金額，你必須賣掉更多份額。買進時「價低多買」是優勢，賣出時「價低多賣」就是劣勢，而且它同樣自動發生，不需要你做錯任何判斷。這個現象有個名字，叫報酬順序風險（sequence of returns risk）：同樣的平均報酬率，前幾年先跌後漲和先漲後跌，對正在提領的人結果差很多，對還在累積的人反而影響很小。

知道這件事有什麼用？它提醒你，「定期定額很安全」這句話是有時效的。它在你只進不出的階段成立，在你開始提領之後就不再成立。常見的因應方向是提領期改用固定比例（跌的時候少領一點），或者先準備一到兩年的現金部位，讓行情差的年份不必被迫賣在低點。哪一種適合你不在本文範圍，但至少要知道：累積期的直覺不能原封不動搬到提領期。

實際執行的幾個細節

機制懂了，剩下是操作面的幾個小事：頻率（週扣月扣差異不大，選跟薪水合拍的）、每筆金額 vs 固定成本（金額太小的話，每筆的固定費用佔比會變高，這在穩定幣入金成本那篇算過）、碎股（美股單價高，能買碎股才做得到小額定期，見碎股怎麼買）。想把自己的金額、頻率和假設報酬代進去看長期曲線，用定期定額試算工具直接算。

DCA 最大的敵人從來不是數學，是中途棄守。把扣款設成自動的、金額設成無感的，然後讓時間去做剩下的事。